Lineariteit en enkele hardnekkige misconcepties

Het artikel dat hier besproken wordt:

De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2002). Improper use of linear reasoning: an in-depth study of the nature and irresistibility of secondary school students’ errors. Educational Studies in Mathematics, 50, 311-334.

Aanleiding

Lineariteit is een kernbegrip in het onderwijs voor wis- en de natuurwetenschappen, van basisschool tot universiteit.
De eenvoud van het lineaire model maakt dat het snel in de gedachte van de leerling naar boven komt. De veelvuldige toepassingsmogelijkheden van lineariteit in tal van schoolse wiskunde problemen versterkt dat leerlingen het lineaire model overal gaan toepassen.
Het verkeerde gebruik van lineariteit komt in veel vormen naar voor. Een van de oorzaken is het gebrek aan betekenis geven aan het probleem. (Bijv. Het duurt 15 minuten om een T-shirt te laten drogen aan een waslijn. Hoe lang duurt het om 3 shirt’s te laten drogen?). Vaak ook is het een gevolg van over-generaliseren, immers als 2(a+b) = 2a + 2b, dan ook √(a+b) = √a + √b.

Theoretische achtergrond
Het ongeoorloofd toepassen van het lineaire model op niet-lineaire problemen wordt alom herkend. In eerdere onderzoeken van deze onderzoeksgroep is de hardnekkigheid van het probleem vastgesteld. De vraag echter waarom zoveel leerlingen in de ‘lineaire val’ trappen en waarom leerlingen ongevoelig blijken voor diverse vormen van hulp bij ondersteuning is nog steeds onbeantwoord.

Onderzoeksvraag
Welk proces van probleemaanpak ligt ten grondslag aan het onjuiste redeneringen over niet-lineaire problemen? De onderzoeksaanpak tot dusver gehanteerd leverde hierover weinig informatie, daarom is gekozen voor een nieuwe aanpak gebruik makend van diepteinterviews.

Opzet/methode van onderzoek
Een diepte-interview onder 40 leerlingen, gelijk verdeeld over twee leeftijdscategorieën, 12-13 jaar en 15-16 jaar. De deelnemers werden geconfronteerd met een niet-lineair probleem over de vergroting van een onregelmatig vlak figuur (plaatje van een kerstman). Bij het oplossen van het probleem werden de leerlingen gestimuleerd hardop te redeneren. Wanneer de leerlingen verkeerd antwoordden, werden in vier opeenvolgende fasen hints gegeven en werd de leerlingen de gelegenheid gegeven hun antwoord te wijzigen.
In de opeenvolgende fasen werd gepoogd een cognitief conflict uit te lokken bij de leerlingen. Bijvoorbeeld door het geven van frequentietabellen van uitkomsten van medeleerlingen als ook door het bespreken van (correcte) redeneringen van hun medeleerlingen.

Belangrijkste resultaten

• Evenredigheid is een diep verankerd begrip in de intuïtieve redeneringen van leerlingen en wordt daarom vaak spontaan en onbewust toegepast. De natuurlijke lineaire aanpak van problemen is zo vanzelfsprekend dat het niet leidt tot introspectie of reflectie. Sommige leerlingen geven zelfs aan dat de niet-lineaire oplossing contra-intuïtief voelt.
• Leerlingen passen vaak opzettelijk het lineariteitsprincipe toe omdat ze overtuigd zijn van evenredige groei, altijd en overal.
• Gebrek aan veronderstelde meetkundige kennis, begrip van oppervlakte, volume maakte juiste redeneringen onmogelijk.
• Een aantal leerlingen heeft inadequate gewoontes en opvattingen over het oplossen van problemen. Je kunt het best vasthouden aan je eerste oplossing, problemen hebben niets met de werkelijkheid te maken, de oplossing van een probleem kan niet meer zijn dan enkele standaardbewerkingen uitvoeren op de gegevens uit de tekst.

De complexe combinatie van de bovenstaande resultaten illustreert hoe lastig wiskundig modelleren kan zijn. Leerlingen hebben de neiging problemen erg oppervlakkig en eenvoudig te benaderen.

Conclusies en discussiepunten
De interviewstudie stelde de onderzoekers in staat het complex van verschillende elementen uit de kennisbasis van leerlingen te ontrafelen.
Een open vraag blijft nog hoe een rijke leeromgeving te creëren om leerlingen met meer succes, diepverankerde opvattingen over evenredigheid, te begeleiden tot een juiste oplossingstrategie.

Betekenis voor onderwijs- en opleidingspraktijk

Het artikel geeft een beeld van een hardnekkig misconcept in het wiskundeonderwijs, dat op veel plaatsen in het curriculum terugkomt. Het vertelt iets over de herkomst van het probleem en de vanzelfsprekendheid waarmee docenten lineariteit aannnemen en niet-lineariteit uitleggen.
Daarnaast laat het zien dat luisteren naar redeneringen van leerlingen veel informatie geeft over het denken van leerlingen en hun opvattingen over het leren van wiskunde.

Trefwoorden:
misconcepten, wiskundig redeneringen van leerlingen, betekenis geven, interactie,