Proefschrift – Mathematics, insight and meaning

Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht (OW&OC), 14 oktober 1987. Evaluatie van het HEWET project, de invoering van de nieuwe wiskunde op het VWO

In augustus 1985 werd een nieuw curriculum in Nederland geïntroduceerd voor de hoogste klassen van het voortgezet onderwijs: Wiskunde A.
Dit programma was bedoeld voor die studenten die later op de universiteit psychologie, sociale wetenschappen, economie e.d. willen studeren. Voorafgaand aan de introductie van het nieuwe programma vond een uit­gebreid experiment plaats: het Hewet project.

Gedurende een periode van vijf jaar werden experimenten uitgevoerd; eerst op twee, later op twaalf en tenslotte op 52 scholen (zie p. 12). Deze experimenten waren er in de eerste plaats op gericht de inhoud van het vak Wiskunde A vorm te geven. Daarbij speelden het ontwerpen van leer­lingteksten, het observeren in de klas, het discussiëren met leerlingen en docenten, het informeren van docenten en het opzetten van nascholingsac­tiviteiten een grote rol.
De sterke punten van het Hewet project waren de stapsgewijze experimenten om het studentenmateriaal uit te testen en de scholing van de docenten die sterk leunde op de ervaringen opgedaan tijdens het experiment en plaatsvond vóór introductie van het nieuwe curriculum op de scholen.
Zwakke punten waren zonder twijfel de randvoorwaarden voor de scholen: er werden weinig of geen faciliteiten geboden, de tijdsdruk was te groot, er was onvoldoende gelegenheid tot scholing.
Andere tot nadenken stemmende zaken: er heeft vrijwel geen evaluatie plaatsgevonden en er is geen enkele ‘follow-up’ voor het experiment; de scholen werden na de introductie van het nieuwe programma aan hun lot overgelaten.

Zwaartepunten

Het zwaartepunt van deze studie ligt niet bij het Hewet project als zodanig maar bij het vak Wiskunde A. Twee punten staan daarbij centraal:

• Wat is Wiskunde A?
• Hoe ontwikkel je goede toetsen voor Wiskunde A?

De eerste vraag kan worden afgedaan met een beschrijving van de puur wis­kundige inhoud van het programma. Alhoewel deze opsomming het begin vormt van Hoofdstuk II zegt deze wei­nig over de werkelijke inhoud van het vak Wiskunde A.
De inhoud van het vak dient bezien te worden in het licht van twee uit­gangspunten:

• Het vak dient gebruikt te worden is disciplines zoals psychologie, sociale wetenschappen, economie etc. (Wiskunde als gereedschap.)
• De manier van behandelen dient te motiveren; deze motivatie zou mede ontleend kunnen worden aan het feit dat de wiskundige kennis als relevant dient te worden ervaren.

Een analyse van de experimentele leerlingmaterialen gekoppeld aan de klasseobservaties leert dat Wiskunde A een sterk proces georiënteerd vak is. Eén van die processen is het mathematiseren. Daartoe worden leerlingen problemen aangeboden uit de ‘real world’. Deze problemen dienen geor­ganiseerd, gestructureerd, gevisualiseerd te worden. Dat proces heet mathematiseren.
Daarin kunnen verschillende aspecten benoemd worden. Zo herkennen Tref­fers en Goffree horizontale- en verticale mathematisering. Bij horizontale mathematisering ligt de nadruk op het vertalen van het probleem uit de ‘real world’ naar de ‘symboolwereld’, zoals Freudenthal het interpreteert. Het herkennen van de wiskundige essenties en de relevante gegevens, het schematiseren of visualiseren, het ontdekken van regelmatigheden of ver­banden zijn typische horizontale activiteiten. De veelal daarop volgende ver­dieping binnen de wiskunde kan als verticaal mathematiseren worden geken­merkt.
De ‘real world’ speelt in de Wiskunde A een dubbelrol. Deze dubbelrol leidt tot een andere tweedeling in het mathematiseren.
Allereerst vormt een ‘real world’ het startpunt van ieder subcurriculum. Al mathematiserend ontwikkelen de studenten op interactieve wijze wiskundige concepten, waarbij reflectie op het eigen mathematiseringsproces essentieel is. Deze fase van mathematiseren wordt in deze studie als conceptueel mathematiseren aangeduid.

Nadat de concepten zijn geabstraheerd en geformaliseerd kunnen zij worden toegepast in nieuwe ‘real world’ problemen. Op deze wijze worden de concepten versterkt en de ‘real world’ van de student bijgesteld (p. 39). Hierbij spreken we van toegepast mathematiseren.
Aan de hand van vele voorbeelden worden de verschillende soorten en fasen van mathematiseren duidelijk gemaakt en wordt de rol van de context daarbij nader bestudeerd (zie p. 76).
Apart wordt aandacht besteed aan de kritische houding die de student ten aanzien van gebruik en misbruik van wiskunde zou moeten bezitten (zie p.88).
Van de overige zaken die in de beschouwing van Wiskunde A nog een rol spelen noemen we het feit dat Wiskunde A zoals vormgegeven in de experimentele leerlingmaterialen past in de definitie van ‘Realistisch wiskunde-onderwijs’, dat zich met name door contextgebruik en mathematiseren onderscheidt van het tot voor kort zo gangbare struc­turalistische en mechanistische wiskunde-onderwijs (zie p. 93).

Ervaringen

Na de uitvoerige beschrijving van de gedachten achter Wiskunde A volgt een inventarisering van de ervaringen van docenten en leerlingen die tijdens het experiment werden verzameld. Hieruit blijkt dat veel leerlingen vinden dat de gestelde doelen worden bereikt: men vindt het vak zinvol omdat het aangeeft hoe nuttig wiskunde is; veel leerlingen ervaren het feit dat naar inzicht wordt gestreefd als positief en docenten beamen dat er in het algemeen gemotiveerd wordt gewerkt. Tevens werd tijdens de nascholings­cursus duidelijk dat veel docenten die aanvankelijk nogal terughoudend tegenover Wiskunde A stonden, later gematigd positief tot positief reageer­den (zie p. 141).

Toetsen

Het proces-karakter van Wiskunde A, alsmede het gebrek aan duidelijkheid omtrent de essentie van het vak bracht veel docenten in moeilijkheden met name bij het ontwerpen van toetsen. Dit werd niet alleen duidelijk uit de reacties zoals weergegeven in hoofdstuk III, maar vooral uit de resultaten van een onderzoek naar de proefwerken zoals die op de twaalf experimenteerscholen afgenomen werden.
Veel opgaven weken weinig af van de opgaven in het boek met als gevolg dat wél kennis, maar nauwelijks vaardigheden werden getoetst. Of anders gezegd: wel produkt- maar geen procestoetsing.
Dit feit vormde de directe aanleiding tot het exploratieve onderzoek naar andere toetsvormen dat het tweede zwaartepunt van deze studie vormt.

Alternatieve toetsen

Bij het ontwikkelen van alternatieve toetsen voor Wiskunde A stonden de volgende vijf principes centraal.

• Toetsen moeten bijclragen aan het leerproces.
• Leerlingen moet de kans gegeven worden te laten zien wat ze weten niet wat ze niet weten.
• De doelen van Wiskunde A moeten zoveel mogelijk geoperationaliseerd worden.
• De kwaliteit van de toets wordt niet in de eerste plaats bepaald door de mogelijkheid tot objectieve scoring.
• De toets moet redelijk binnen de schoolpraktijk passen.

Toetsen die vervolgens worden beschreven zijn:

• De twee-traps toets (pp. 184)
• Bij deze toets wordt de leerlingen eerst gevraagd de toets te maken als een proefwerk. Nadat het werk beoordeeld is mogen de leerlingen vervolgens het werk thuis verder uitwerken, waarna een tweede cijfer gegeven wordt. De thuistoets (pp. 222)
• Een toets die door één of meer leerlingen thuis (met hulp) gemaakt kan worden en veelal op een hoog niveau ligt.
• De essay toets (pp. 234)
• De mondelinge toets (pp. 242)

Talrijke voorbeelden maken duidelijk dat deze toetsen in veel opzichten beter aansluiten bij het vak Wiskunde A dan proefwerken. Het is ook duide­lijk dat er heel andere doelen worden geoperationaliseerd dan gebruikelijk, doelen die het hart van Wiskunde A vormen: mathematisering, reflectie, creativiteit, kritische beoordeling etc.
De vrees dat dergelijke open vormen van toetsen zouden kunnen leiden tot weinig objectieve scores werd ook onderzocht (pp. 209).
Vijf werkstukken van leerlingen werden ter beoordeling aan vijftien docenten opgestuurd. Alhoewel deze docenten geen enkele steun hadden in de vorm van informatie over de studenten, of de beschikking hadden over een antwoordmodel, bleek de spreiding van de beoordelingen niet zeer groot. De mate van intersubjectiviteit was redelijk.
Aan de andere kant werd duidelijk dat het ontwerpen en beoordelen van der­gelijke toetsen zeer tijdrovend is. Het is daarom dat wij ervoor pleiten dat dergelijke toetsen mede door deskundigen worden ontwikkeld en aan docen­ten ter beschikking worden gesteld.
De conclusie lijkt gewettigd dat de positieve effecten van ‘alternatieve’ toet­sen ruim opwegen tegen de negatieve en dat de toetsen een vaste plaats ver­dienen binnen het onderwijsproces. Daarbij komt nog het feit dat met name meisjes lijken te profiteren van de mogelijkheden die alternatieve toetsen bieden (pp. 264).
De zorg voor het vak Wiskunde A weerspiegelt zich in de zorg voor het lan­delijk examen. Het examen voldoet in vrijwel geen enkel opzicht aan de principes die wij ons bij het ontwikkelen van goede toetsen voor Wiskunde A hebben gesteld. Gevreesd moet worden dat het examen in de huidige vorm een slechte invloed zal hebben op het vak Wiskunde A zoals in deze studie beschreven.

Verwijzingen

• De Lange Jzn, J. (1987). Mathematics, Insight and Meaning (PDF) (pp. 307). Utrecht: Rijksuniversiteit Utecht, Vakgroep OW&OC.