Bij differentiaalrekening en kinematica is het gebruikelijk om de begrippen op te bouwen aan de hand van continue grafieken. Raaklijnen en oppervlaktes spelen een belangrijke rol in de verklaring van een maat voor verandering. Het blijkt echter dat leerlingen zulke grafieken niet altijd correct interpreteren. Een bekend verschijnsel is dat leerlingen die grafieken als een beschrijving van de werkelijke situatie zien. Dit wordt niet alleen veroorzaakt door de vorm van continue grafieken, maar ook door de taal waarmee we over grafieken praten (‘stijgen’, ‘dalen’, ‘top’, ‘dal’, etcetera). Uit onderzoeken met leerlingen en met natuurkundestudenten volgt dat zij niet spontaan met snelheid redeneren als een samengestelde grootheid die een relatie beschrijft tussen een bewegend object en een referentiekader. Leerlingen gebruiken zowel alledaagse ervaringen als kenmerken van een geïdealiseerde werkelijkheid uit de schoolvakken en verwarren beschrijvingen met oorzakelijke verbanden. Een ander probleem is dat te snel wordt overgegaan naar het manipuleren van de formules die bij kinematica en differentiaalrekening een rol spelen. Voor de leerlingen staat het oefenen met die formules vaak centraal. Hierdoor zijn ze gespitst op het hoe, in plaats van op het waarom. In de onderwijspraktijk van deze onderwerpen is de overgang van dagelijks taalgebruik en intuïtieve noties naar formele begrippen en grafieken te groot. Dit heeft tot gevolg dat leerlingen onvoldoende inzicht ontwikkelen in de wis- en natuurkunde van het modelleren van beweging.

Met dit onderzoek willen we bereiken dat leerlingen meer inzicht krijgen in de kenmerken van afstand-tijd en snelheid-tijd grafieken en daarmee in de beginselen van kinematica en differentiaalrekening.

Grafieken van bewegingen lijken zich goed te lenen voor het onderwijs over de samenhang tussen snelheid en afgelegde weg. Een vraag is dus hoe je leerlingen kunt voorbereiden op het interpreteren van en werken met dergelijke grafieken. Bij het gebruik van structuurmaterialen verwijzen specifieke kenmerken van die materialen naar kenmerken in de situatie. Bekend is dat leerlingen voor een correcte interpretatie van dergelijke materialen eigenlijk de situatie al gestructureerd moeten hebben (wat juist het einddoel van je onderwijs is). We vermoeden dat een dergelijk probleem ook hier speelt bij de presentatie van continue grafieken. We vermoeden dat je problemen van leerlingen kunt voorkomen door ze zelf te laten bijdragen aan een samenhangende ontwikkeling van afstand-tijd en snelheid-tijd grafieken als beschrijvingen van beweging. Hierbij is gebruik gemaakt van de ontwerpheuristieken emergent modelleren en de probleemstellende benadering.

Het gebruik van emergente modellen richt zich op de ontwikkeling van modellen bij het oplossen van probleemsituaties die leerlingen herkennen en relevant vinden. Tijdens het leerproces vindt vervolgens een verschuiving plaats. Eerst ontwikkelen leerlingen informele modellen van een specifieke situatie, en later groeien die modellen in het onderwijsleerproces uit tot een model voor generieke wiskundige en natuurkundige redeneringen.

De probleemstellende benadering richt zich op het verschaffen van inhoudelijke motieven aan leerlingen tijdens hun modelleeractiviteiten. Die motieven moeten richting geven aan die activiteiten. Centraal staat daarbij een overstijgend kernprobleem. Dat probleem zorgt ervoor dat de gepresenteerde sequentie activiteiten in de leergang voor de leerlingen consistent is. Het beantwoorden van een specifieke opgave roept bij leerlingen, denkend aan het kernprobleem, vervolgvragen op die zouden moeten worden opgelost en die idealiter aansluiten bij de opgavenreeks in de leergang.

De gemeenschappelijke geschiedenis leert ons dat de aanzetten voor de differentiaalrekening voortkomen uit het modelleren van beweging. Er werd in eerste instantie niet gekeken naar continue grafieken van functies, maar werd gebruik gemaakt van discrete meetkundige diagrammen die direct betekenis hebben in de context.

We veronderstellen dat het thema greep krijgen op verandering in de lessenserie centraal moet staan en dat we leerlingen kunnen ondersteunen met een serie grafieken: van discrete context-nabije grafieken tot de continue snelheid-tijd en afstand-tijd grafieken. Dit thema is uiteindelijk geconcretiseerd binnen de context van een orkaan die over zee een kust nadert. De vraag voor de leerlingen is: Hoe kun je voorspellen wanneer de orkaan het land zal treffen? Die situatie wordt gepresenteerd aan het begin van de leergang en gedurende de lessenserie wordt daar een aantal keren op teruggeblikt: Wat kunnen we nu beter? Hoe zouden we nog preciezer kunnen zijn? In deze aanpak sluiten we niet aan bij intuïties van leerlingen over snelheid en gemiddelde snelheid als samengestelde grootheid, maar bij intuïties over verplaatsingen in tijdsintervallen als maat voor een veranderende snelheid.

In die context ligt het voor de hand om positieverandering vast te leggen en te gebruiken voor de voorspellingen. Het voorspellen leidt tot een onderzoek van patronen in verplaatsingen. Dit is een motivatie voor het construeren van twee-dimensionale grafieken van verplaatsingen en van afgelegde weg.

Door met een computerprogramma veel situaties te onderzoeken – waarbij de mogelijkheid blijft om betekenissen van die grafieken te traceren – ontwikkelen leerlingen inzicht in grafische kenmerken van die grafieken, zoals ‘helling’ en de interpretatie van ‘snijpunten’. Kenmerken die voorbereiden op redeneringen met continue snelheid-tijd en afstand-tijd grafieken.

Voor het motiveren van de overgang van discreet naar continu maken we gebruik van een beperking van discrete grafieken en van een onderzoek naar een door Galileo’s continue model voor vrije val. Dit is aanleiding voor een strokenbenadering met stukjes constante gemiddelde snelheid. Voor leerlingen blijkt deze overgang moeilijk en de docent heeft een belangrijke rol om de probleemstelling en de gevolgen van een bewering als ‘valsnelheid is evenredig met valtijd’ met leerlingen te bespreken.

De volgende stap naar het differentiequotiënt en momentane snelheid vindt nog steeds plaats in het thema ‘greep krijgen op verandering’. We hebben gekozen voor een context met een continue afstand-tijd grafiek van een object dat voortbeweegt met veranderende snelheid. Het probleem voor de leerlingen is te achterhalen hoe de grafiek zou verlopen als de snelheid op een zeker moment niet meer zou veranderen. In deze leergang gebeurt dat in de context van een vermeende snelheidsovertreding.

Als leerlingen een beeld hebben van de mogelijkheden om met een differentiequotiënt momentane verandering te benaderen, helpt een computerprogramma om de dynamiek van dat proces grafisch te verankeren. Een hele computerles werken met het programma bleek voldoende om ook achteraf te kunnen verwijzen naar grafisch-dynamische beelden van het programma die het benaderingsproces ondersteunen.

De kern van de leergang in het onderzoek is het modelleren van beweging voor het kunnen doen van voorspellingen. Het bleek dat deze kern kan worden vormgegeven in de context van het weer en weersvoorspellingen. Leerlingen ontwikkelden zo hun kennis over snelheid als samengestelde grootheid, de samenhang met verplaatsingen en afgelegde weg en het differentiequotiënt als maat voor verandering. Deze kennis werd ondersteund door een serie van grafieken die het voor leerlingen mogelijk maakte betekenissen te construeren en te traceren. Hierdoor zijn de uiteindelijke begrippen geworteld in hun redeneringen over beweging en voorspellingen bij veranderingsprocessen.

De keuze voor emergent modelleren heeft ertoe geleid dat leerlingen met het lesmateriaal symbolen en betekenissen ontwikkelen in een dialectisch proces. Het blijkt dat de docent niet alleen kennis moet hebben van de beoogde ontwikkeling van grafieken, maar ook van de bijbehorende taalontwikkeling van leerlingen.

De probleemstellende benadering bleek waardevol voor het geven van betekenis aan en het creëren van inhoudelijke motieven voor de activiteiten. Leerlingen ervaren dan de achtereenvolgende activiteiten als een samenhangend geheel. De overstijgende problematiek is behulpzaam bij het reflecteren op de stand van zaken en om leerlingen te betrekken bij het denken over de volgende problemen die zouden moeten worden opgelost om verder te komen met het beschrijven van veranderingsprocessen. We zijn echter niet overal geslaagd in deze benadering.

De dynamiek van de computerprogramma’s en de mogelijkheid om veel situaties te onderzoeken bieden leerlingen de gelegenheid om zelf ideeën te ontwikkelen. Computergebruik heeft echter als risico dat leerlingen te oppervlakkig en te snel door de activiteiten heengaan, zelfs als ze de bedoeling niet volledig begrijpen. Een goede voorbereiding in het lesmateriaal en klassendiscussies onder leiding van de docent moeten zorgen voor afstemming van de mogelijkheden van de programma’s met de redeneringen van de leerlingen. Activiteiten achteraf zijn nodig voor reflectie op en een klassikale consensus over het geleerde.

In deze benadering van geleid heruitvinden is het ons opgevallen dat leerlingen de mogelijkheid hebben om betekenissen te traceren, maar dat dit niet vanzelf gaat. We bevelen aan dat met name in het wiskundeonderwijs regelmatiger aandacht wordt besteed aan de oorsprong van wiskundige begrippen, omdat die snel een eigen leven kunnen gaan leiden in beoogde algoritmen.

In dit artikel wordt ingegaan op de vraag hoe in een natuurkundecurriculum aandacht besteed kan worden aan verschillende soorten modellen en diverse wijzen van modelleren. En òf en hoe je ‘leren modelleren’ ook op een of andere manier, als algemene vaardigheid, expliciet kunt onderwijzen. Na een korte beschouwing over modellen en modelleren, wordt beschreven hoe in een drietal onderzoeken aandacht besteed wordt aan descriptief, causaal en dynamisch modelleren.

• Website: Lijnse, P. (2008). Modellen van/voor modelleren. Tijdschrift voor Didactiek der beta-wetenschappen 25(1en2), 3-24