Lerarenopleidingen Science en Wiskunde/Rekenen

Emergent modelleren

| PO | VO |

Emergent Modelleren

Deze ontwerpheuristiek heeft zijn oorsprong in een probleem dat Bereiter (1985) de ‘learning paradox’ noemt, die we als volgt kunnen parafraseren.

“Om toegang te krijgen tot een bepaald onderdeel van de wiskunde moeten leerlingen de symbolen begrijpen die bij dat onderdeel van de wiskunde horen. Deze symbolen ontlenen hun betekenis nu echter precies aan het onderdeel van de wiskunde waartoe de leerlingen toegang proberen te krijgen.”

De emergent-modeling ontwerpheuristiek biedt een mogelijkheid om deze paradox te omzeilen (Gravemeijer, 1999). In plaats van leerlingen te vertellen hoe ze een gegeven model of symbolisering moeten interpreteren streef je naar een incrementeel proces dat vergelijkbaar is met de manier waarop symbolische representaties historisch tot ontwikkeling zijn gekomen. Deze historische ontwikkeling had het karakter van een reflexief proces (Meira, 1995): Het werken met bepaalde symbolische representaties leidde tot nieuwe inzichten en om met deze nieuwe inzichten te kunnen werken werden nieuwe symbolische representaties bedacht. Het werken daarmee leidde weer tot nieuwe inzichten, enzovoort.
Het doel van de emergent-modeling ontwerpheuristiek is om een met de historie vergelijkbare ontwikkeling mogelijk te maken, een cyclisch proces waarbij zowel het model als de betekenis stapsgewijs veranderen. Centraal staat hier, het modelleren als onderdeel van het oplossen van contextproblemen. Dit modelleren kan bestaan uit het maken van tekeningen, diagrammen of tabellen, of het kan gaan om het ontwikkelen van informele notaties of het gebruik ervan conventionele wiskundige notaties. Een belangrijk principe is hier dat je ervoor zorgt, dat elke nieuwe wijze van symboliseren betekenisvol is voor de leerlingen, doordat de leerlingen in de nieuwe manier van symboliseren vertrouwde handelingen met de voorafgaande symbolisering herkennen.

Merk op dat de achtereenvolgende symboliseringen, of sub-modellen, vooraf worden gepland en als regel niet door de leerlingen zelf worden uitgevonden. Hiervoor wordt gecompenseerd door bij elke nieuwe symboliseringsstap, de symbolisering (het sub-model) van dat moment te problematiseren. Door te vragen, kan het handiger, kan het sneller, of efficiënter? Bij het bespreken van de suggesties wordt het beoogde nieuwe sub-model ingebracht met de vraag of de leerlingen dit een adequate oplossing achten.
Het emergent modelleren betreft niet alleen het symboliseren, het gaat immers om reflexief proces waarin niet alleen de symboliseringen zich steeds verder ontwikkelen, maar ook de wiskundige inzichten. Het laatste proces verloopt als volgt. De leergang start op het niveau van voor de leerlingen informele wiskundige activiteit. Dat wil zeggen dat de contextsituaties zo worden gekozen dat de leerlingen weten hoe ze in de die situatie kunnen handelen en redeneren. In het begin zullen de modellen die de leerlingen maken, hun betekenis – voor de leerlingen – ontlenen aan de probleemsituatie. Als de leerlingen vervolgens meer van soortgelijke problemen oplossen, kan de leraar de aandacht richten op de wiskundige relaties die in het spel zijn. Naar mate de leerlingen zich meer relaties eigen maken, zullen de leerlingen deze ook meer gaan gebruiken bij het probleem oplossen. Het model wordt dan steeds meer een steun voor het redeneren met deze wiskundige relaties. Het krijgt het karakter van een model vóór meer formeel wiskundig redeneren.
Wanneer de reeks van (sub-)modellen die achtereenvolgens worden gebruikt, wordt ondergebracht in een algemeen overkoepelend model, dan kunnen we de ontwikkeling als volgt beschrijven. Het model ontwikkelt zich van een model van informele wiskundige activiteit ontwikkelt zich tot een model voor meer formeel wiskundig redeneren. Een ontwikkeling die nauw samenhangt met de vorming van een netwerk van wiskundige relaties en daarmee met de vorming van een wiskundig object.

De verschuiving van model/van naar model/voor valt samen met een verschuiving, van denken over de gemodelleerde contextsituatie naar denken over wiskundige relaties. In verband hiermee kunnen we twee niveaus van activiteiten onderscheiden:

  1. het niveau van verwijzende activiteit, waarbij het handelen met het model zijn betekenis ontleent aan de activiteit in de situatie die beschreven is in de opgave.
  2. het niveau van algemene activiteit, waarbij het handelen met het model zijn betekenis ontleent algemeen geldende wiskundige relaties.

In principe gaat hier het niveau van activiteit in de concrete situatie in de werkelijkheid aan vooraf. Al zal die in veel gevallen niet door de leerlingen in de echte werkelijkheid worden uitgevoerd. Het gaat er meer om dat ze zich die voor kunnen stellen.

Het niveau van algemene activiteit dient te worden gevolgd door het niveau van meer formeel wiskundig redeneren dat je hoopt te bereiken – waarbij de leerling geen model meer nodig heeft. Daarmee kunnen we het model-van/model-voor onderscheid uitwerken door vier niveaus te onderscheiden (Gravemeijer, 1994), zoals weergegeven in Figuur 1.

Figuur 1. Niveaus

  1. activiteit in situatie van de taaksetting
  2. verwijzende activiteit, waarin modellen-van verwijzen naar activiteit in de setting van het beschreven contextprobleem
  3. algemene activiteit, waarbij modellen-van verwijzen naar een netwerk van wiskundige relaties
  4. formeel wiskundig redeneren dat niet langer afhankelijk is van de ondersteuning van modellen-voor wiskundige activiteit.

Samenvattend kunnen we drie gelijktijdige ontwikkelingen onderscheiden:

  • het doorlopen de reeks van opeenvolgende symboliseringen/sub-modellen,
  • de overgang van model van informele wiskundige activiteiten naar een model voor meer wiskundig redeneren.
  • het ontwikkelen van netwerken van wiskundige relaties en daarmee van wiskundige objecten.

Een voorbeeld

In een data-analyse leergang (zie Gravemeijer, 2002) staat het proces van het construeren en analyseren van representaties van datasets centraal. Deze start met representaties van individuele meetwaarden en eindigt met de grafiek van een dichtheidsfunctie. De representaties ontwikkelen zich van model van meetwaarden naar een model voor de verdeling als wiskundig object.

Klik hier voor het voorbeeld

Literatuur

  • Bereiter, C. (1985). Toward a solution of the learning paradox. Review of educational research, 55(2), 201-226, Article 3111.
  • Gravemeijer, K. P. E. (1994). Developing realistic mathematics education (PDF), Faculty of Sciences, Freudenthal Institute (pp. 222 pp.). Utrecht: CDbeta press.
  • Gravemeijer, K. (1999). How emergent models may foster the constitution of formal mathematics Mathematical Thinking and Learning, 1(2), 155-177.
  • Gravemeijer, K. (2002, July). Emergent modeling as the basis for an instructional sequence on data analysis. In Proceedings of the 6th International Conference on Teaching Statistics.
  • Meira, L. (1995). The microevolution of mathematical representations in children’s activity. Cognition and Instruction, 13(2), 269-313.

Verder lezen

  • Gravemeijer, K. (2020). Emergent Modeling: an RME Design Heuristic Elaborated in a Series of Examples (PDF) Educational Designer, 3(13).
  • Nelissen, J. M. C. (2008). Gravemeijers opvattingen over de theorie van realistisch reken-wiskundeonderwijs – beschouwing naar aanleiding van een publicatie (PDF) Panama-Post. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 27(34), 81-83.

ELWIeR en Ecent als één STEM