Lerarenopleidingen Science en Wiskunde/Rekenen

Lerarenopleidingen Science en Wiskunde/Rekenen

Modelleren

Modelleren is iets wat we in STEM eigenlijk continu doen. Model is dan ook een breed begrip. Een maquette van een huis is een model, net als een skelet in een lokaal. Een theorie over materialen en deeltjes is net zo goed een model, een vereenvoudigde beschrijving van de werkelijkheid.

In STEM is het gebruikelijk om ideeën over de werkelijkheid om ons heen te verwoorden in formele taal, de wiskunde. Dit kan op een analytische manier, zodat door invullen van de waarden die er toe doen, een andere grootheid uitgerekend kan worden en je zo kan voorspellen wat er gebeurt als… Niet elke afhankelijkheid van grootheden (model van de relatie tussen grootheden) is te noteren als een nette formule. Veel veranderingen zijn alleen in differentiaalvergelijkingen op te schrijven, waarbij een nette oplossing niet altijd mogelijk is. Met behulp van computerprogramma’s zijn dergelijke modellen wel numeriek door te rekenen, waarbij je toch een voorspellende waarde krijgt. We spreken dan over dynamisch modelleren.

Waarom is dynamisch modelleren interessant om in het voortgezet onderwijs mee te beginnen

Aansluiting bij de maatschappij

Leerlingen moeten zich een beeld vormen van de wereld om hen heen. In het voortgezet onderwijs helpen we de leerling daarbij met ons onderwijs. Om een idee te krijgen van de implicaties van bepaalde aannames, is werken met dynamische modellen noodzakelijk. Verder worden dynamische modellen in de maatschappij veel gebruikt: weersvoorspelling, voorspelling van impact van ziektes op de bevolking, doorrekenen van aannames bij bepaalde politieke beslissingen. Enige kennis van wat een dynamisch model is en van de beperkingen is noodzakelijk om de op de modellen gebaseerde voorspellingen en aannames enigszins op waarde te kunnen schatten. Het modelleren in het voortgezet onderwijs zonder gebruik van dynamische modelleersoftware beperkt zich tot sterk geïdealiseerde situaties die zich in analytisch oplosbare wiskunde laten beschrijven. Met de software kun je voor leerlingen herkenbaardere situaties aanbieden en exploreren.

Examenprogramma vwo-natuurkunde (concept, examen 2013)

A2.3 Modelvorming
De kandidaat kan een realistische contextsituatie analyseren, inperken tot een hanteerbaar probleem, vertalen naar een model, modeluitkomsten genereren en interpreteren en het model toetsen en beoordelen.
A3.3 Vakspecifiek gebruik van de computer
De kandidaat kan de computer gebruiken bij modelleren en visualiseren van verschijnselen en processen, en voor het verwerken van gegevens.

Syllabus examenprogramma vwo-na (examen 2010):

A3.9 gebruik maken van computermodellen om bewegingen te beschrijven.

Examenprogramma NLT vanaf examen 2010:

Subdomein A2-3: Modelvorming
7. De kandidaat kan een realistische contextsituatie analyseren, inperken tot een hanteerbaar probleem, vertalen naar een model, modeluitkomsten genereren en interpreteren en het model toetsen en beoordelen.

Subdomein A3-3: Vakspecifiek gebruik van de computer
13. De kandidaat kan de computer gebruiken bij modelleren en visualiseren van verschijnselen en processen, en voor het verwerken van gegevens. Bij biologie en bij scheikunde wordt op het moment dat dit wordt geschreven in de examenprogramma’s nog niet specifiek gerefereerd aan dynamisch modelleren. Bij wiskunde is ook nog niet duidelijk of, in welk programma en hoe dynamisch modelleren voor gaat komen. Er wordt tot nu gerefereerd aan modelvorming maar niet specifiek aan dynamisch modelleren.

Examenprogramma WiD vanaf examen 2010

Domein C: Dynamische modellen 1
Subdomein C1: Discrete dynamische modellen
13. De kandidaat kan rijen relateren aan recurrente betrekkingen, iteraties, webgrafieken en contexten en kan het gedrag ervan beschrijven in termen van stationair, convergerend of divergerend.

Subdomein C2: Continue dynamische modellen
14. De kandidaat kan in differentiaalvergelijkingen van de vorm y = f (y, t) eigenschappen van f relateren aan eigenschappen van oplossingen, zoals het al dan niet stationair zijn, monotonie en asymptotisch gedrag en in eenvoudige gevallen een oplossing expliciet bepalen.

Subdomein C3: Toepassingen van discrete en continue dynamische modellen
15. De kandidaat kan de stof uit de subdomeinen C1 en C2 gebruiken in concrete toepassingen.

Opbouw van vaardigheden

Het werken met dynamische modellen betekent wel dat de leerling met de softwaretools moet kunnen omgaan. Verder is voor het begrijpen van een dynamisch model veelal goed inzicht nodig in de te modelleren onderwerpen en de vaardigheid om er op een abstract mathematische wijze mee om te gaan.
Er zijn ideeën over het aanleren van modelleervaardigheden. Dynamisch modelleren kan tekstgeoriënteerd of grafisch georiënteerd. Löhner (2003) geeft aan dat leerlingen waarschijnlijk aspecten van beide representaties nodig hebben om uiteindelijk met enige diepgang dynamische modellen te maken. Ervaring met modelleren op voortgezet onderwijs geeft aan dat leerlingen goed in staat zijn om met bestaande modellen te exploreren. Zelf een model vanaf de grond opbouwen is erg lastig maar met begeleiding van lesmateriaal komen leerlingen wel degelijk tot enige diepgang, zoals het modelleerproject van het FI (Westra, 2002) laat zien.
In Engeland is voor het Science Year 2000 van de ASE een programma gemaakt (VNR, een modelling tool onder java) dat kwalitatief modelleren mogelijk maakt, waarbij leerlingen niet de mathematische relatie tussen grotheden moeten aangeven maar kunnen volstaan met globale afhankelijkheden, zoals als de ene grootheid toeneemt, doet de andere dat ook… zie ook (Lawrence 2004).

Wat zou je als docentenopleider in je opleiding met dynamisch modelleren kunnen doen met de studenten?

Studenten hebben in hun eigen schooltijd waarschijnlijk weinig meegekregen van dynamisch modelleren. Alleen als ze natuurkunde2 in hun pakket hadden, hebben ze er waarschijnlijk iets mee gedaan. Ze kennen uit hun eigen leefwereld wel modellen. Verder zullen ze applets kennen als dynamische modellen als blackbox met wat in te stellen parameters. Het leren van dynamisch modelleren betekent behalve het aanleren van een bepaalde softwaretool ook anders denken dan gebruikelijk als je met leerstof van het voortgezet onderwijs bezig bent. De wiskundige aanpak schrikt studenten biologie en scheikunde nog wel eens af.
Op veel scholen wordt de leeromgeving Coach gebruikt bij natuurkunde om leerlingen te leren modelleren.. Veel biologiedocenten gebruiken Powersim. Coach tot versie 5 is vooral tekstgeoriënteerd, Powersim grafisch. Coach6 geeft beide mogelijkheden.

Wat moeten docenten in spe nu van modelleren weten?

  • Ze moeten kunnen aangeven hoe modellen in het algemeen in het onderwijs gebruikt worden en hoe dit relateert aan het lesgeven. Verder moeten ze de rol van dynamisch modelleren kunnen aangeven tussen het andere modelgebruik
  • Ze moeten weten hoe dynamisch modelleren in examenprogramma’s terugkomt en in bijvoorbeeld computerexamens op havo en vwo een rol speelt (biologie en natuurkunde)
  • Ze moeten een idee hebben van wat de verschillende manieren van omgaan met dynamisch modelleren inhouden.
  • Ze moeten enige notie hebben van hoe leerlingen met dynamisch modelleren omgaan, waar in eerste instantie de problemen zitten.

Er zijn verschillende manieren om modelleren onder de aandacht van de studenten te brengen.

1. Zelf een model exploreren.

Met een gemengde groep studenten is het een optie om met Powersim of het grafisch deel van Coach6 aan de slag te gaan.
Studenten scheikunde kunnen een farmaconmodel (powersimmodel) onderzoeken op aanpassen van de parameters. Biologiestudenten kunnen goed met een prooi-roofdier-relatie (Coach6model) aan de slag. Studenten natuurkunde kunnen met een valbeweging met wrijving (coach6) beginnen. Wiskundestudenten kunnen eenvoudig aansluiten bij een van de andere vakken.
Nadat studenten dat gedaan hebben, kunnen ze aangeven op wat voor manier een dergelijk model in de lessen ingezet kan worden.
Als achtergrond kunnen ze dan het artikel van Savelsbergh (2007) lezen.

Zie de volgende modellen om eventueel te gebruiken:

Coach6:

Powersim:

2. Een stukje lesstof doen

Afhankelijk van de vakken die de groep aanstaande docenten kennen, is vanuit de diverse projecten een stukje lesstof te gebruiken, deels thuis of op school.

Na deze praktische start kun je met een groep studenten aan de slag om eens te noteren welke vaardigheden een leerling al moet bezitten voordat deze aan modelleren kan beginnen. Een andere groep kan opschrijven wat de doelen zijn die je met modelleren probeert te bereiken. Een derde groep kan zich buigen over het schrijven van een stukje docentenhandleiding bij de door hen uitgeprobeerde module.
Na uitwisseling van wat door de groepjes is gedaan, hebben de studenten een globaal beeld van wat modelleren is, hoe het ingezet kan worden en waar je bij leerlingen op moet letten.

Voor verdieping kan naar de eerder genoemde artikelen verwezen worden.

Achtergrondartikelen

Gerelateerde artikelen

ELWIeR en Ecent als één STEM